刘徽发明牟合方盖,祖冲之儿子彻底解决遗留问题
牟合方盖最初是由魏晋时期著名的数学家刘徽提出,他在为《九章算术》做批注的时候发现计算球体体积方法有误,继而发明了牟合方盖的方法。不过之后有在南北朝时期经过祖暅的发展下,形成了更加完善的计算球体体积公式的祖暅原理,比西方早一千年。
一、魏晋刘徽发明牟合方盖
在《九章算术》内由球体体积求球体直径,是把球体体积先乘16再除以9,然后再把得数开立方根求出。为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑:用π=3来计算圆面积时,则较实际面积要少。若按π=4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时,则球的体积又较实际多了一些。
然而可以互相通补,但按9:16的比率来计算球和外切立方体体积时,则球的体积较实际多一些。因此,刘徽创造了牟合方盖,一个独特的立体几何图形,当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时,两圆柱体的公共部分,希望用这个图形以求出球体体积公式,称之为“牟合方盖”。
其实刘徽是希望构作一个立体图形,它的每一个横切面皆是正方形,而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形,而这个图形就是“牟合方盖”,因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π:4,他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。
当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式,因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4:π,只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可,可惜,刘徽始终不能解决,他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积,但由于“外棋”的形状复杂,所以没有成功。
二、祖暅完善牟合方盖
无奈只好留待有能之士图谋解决的方法,而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现,便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅,他们承袭了刘徽的想法,利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。
祖暅沿用了刘徽的思想,利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算,他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份,取它的八分之一来研究。等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等。祖暅应用这个原理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
虽然本球体体积公式的出现比欧洲阿基米德的公式晚些,但由于方法以至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出,是一项杰出的成就。现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利首先引用,称为卡瓦列利原理,但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理,故又称“祖暅原理”。
祖暅原理是关于球体体积的计算方法,他运用祖暅原理和由他创造的开立圆术,发展了他父亲的研究成果,巧妙地证得球的体积公式,这是祖暅一生最有代表性的发现。祖暅还有不少其他科学发现,例如肯定北极星并非真正在北天极,而要偏离一度多等等。算得这些结果,同他丰富的数学知识是分不开的。
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